Aplicación
En este apartado ejemplificamos la resolución de un problema de programación lineal, donde se muestra el proceder general con este tipo de problemas. A fin de mostrar las ventajas y uso de software dinámico de visualización en la labor didáctica en el tema de programación lineal. En particular en la comprensión geométrica de los elementos y conceptos relacionados, haciendo énfasis en la relación de ésta representación con su representación algebraica; permitiendo que el análisis algebraico se complemente, y represente, con el análisis geométrico, y viceversa.
Problema
Kelson Sporting Equipment fabrica dos modelos de guantes de beisbol: uno normal, y una manopla de cátcher. La empresa tiene disponibles 900 horas de tiempo de producción en su departamento de corte y costura, 300 horas disponibles en su departamento de terminado y 100 horas disponibles en su departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de producción y la contribución a la utilidad de cada uno de los productores está representada en la siguiente tabla:
|
Modelo |
Tiempo de producción (horas) |
Utilidad/Guante |
||
|
|
Corte y costura |
Terminado |
Empaque y embarque |
|
|
Guante normal |
1 |
1⁄2 |
1⁄8 |
$5 |
|
Guante de cátcher |
3⁄2 |
1⁄3 |
1⁄4 |
$8 |
Suponemos que la empresa está interesada en maximizar la contribución total a la utilidad.
Desarrollo al problema
a. Sea x1 : el número de unidades del modelo normal
x2 : el número de unidades del modelo de cátcher
Se debe maximizar la función objetivo Z = 5 x1 + 8 x2
Las restricciones son:
x1 + 3⁄2 x2 ≤ 900
1⁄2 x1 + 1⁄3 x2 ≤ 300
1⁄8 x1 + 1⁄4 x2 ≤ 100
x1 , x2 ≥ 0
b. Primero graficamos las rectas correspondientes a las restricciones en un mismo plano y las regiones correspondientes a ellas. La intersección de estas regiones es la región factible. Mostramos la visualización de esto.
Región factible
Desarrollado por Edgar Enrique Solís de los Reyes. Creación realizada con GeoGebra |
Evaluamos la función objetivo sólo en los vértices de la región factible, la solución óptima es alguno de estos puntos. Y observamos que la solución óptima está en el punto (500, 150).
Para realizar el análisis de sensibilidad, tomamos en cuenta las restricciones cuyas rectas que las definen se intersectan en el punto de solución óptima, a saber:
1⁄2 x1 + 1⁄3 x2 = 300
y
1⁄8 x1 + 1⁄4 x2 = 100
Y tomamos sus pendientes: − 3⁄2 y − 1⁄2 respectivamente.
Entonces:
− 3⁄2 ≤ pendiente de la funció objetivo ≤ − 1⁄2
Escribimos la función objetivo en forma general:
Z = c1 x1 + c2 x2
De este modo su pendiente es: − c1 ⁄ c2
Así:
− 3⁄2 ≤ − c1 ⁄ c2 ≤ − 1⁄2
que es equivalente a:
3⁄2 ≥ c1 ⁄ c2 ≥ 1⁄2
Mantenemos una de las variables constante con su valor inicial del problema y resolvemos la desigualdad:
3⁄2 ≥ c1 ⁄ 8 ≥ 1⁄2
12 ≥ c1 ≥ 4
4 ≤ c1 ≤ 12
Análogamente haciendo constante a c1 , tenemos:
3.33 ≤ c2 ≤ 10
Si dos de los vértices de la región factible fueran colineales, entonces tendríamos la situación de soluciones óptimas múltiples, y de hecho todos los puntos del lado formado por estos dos vérices son la infinidad de soluciones óptimas.
Lo anterior también se puede ver gráficamente:
Solución Gráfica del problemaMueve el deslizador y observa como cambia la gráfica de la función objetivo. Observa especialmente cuando la recta toca los vértices de la región factible.
Desarrollado por Edgar Enrique Solís de los Reyes. Creación realizada con GeoGebra |
También podemos visualizar gráficamente los cambios en los recursos:
Cambio en los recursosMueve el deslizador y observa como cambia la gráfica de la restricción 3. Observa especialmente cuando la recta toca los vértices de la región factible.
Desarrollado por Edgar Enrique Solís de los Reyes. Creación realizada con GeoGebra |
Cambio en los recursosMueve el deslizador y observa como cambia la gráfica de la restricción 2. Observa especialmente cuando la recta toca los vértices de la región factible.
Desarrollado por Edgar Enrique Solís de los Reyes. Creación realizada con GeoGebra |