Raíces de polinomios
En éste escrito podrás conocer las herramientas necesarias para encontrar las raíces de polinomios de una variable con coeficientes enteros.
Polinomios
Un polinomio es una suma de términos llamados monomios.
Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre x o y) elevada a un exponente (entero positivo).
Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo:
5 x2 En este caso el coeficiente es 5, la variable es x el exponente 2
6 x7 – 2
- Trinomio (tres términos):
3 x5 + 4 x3 – x2
En este trabajo utilizaremos polinomios con coeficientes enteros y potencias enteras positivas.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable. Por ejemplo:
| 5 x2 |
Es un polinomio de grado 2 |
| 6 x7 – 2 |
Es de grado 7 |
| 3 x5 + 4 x3 – x2 |
Es de grado 5 |
| 2 x4- x3 – x2 |
¿De qué grado es? |
| 6 x5 – 4 x2 – 19 x |
¿De qué grado es? |
| 3 x15 + x13 – x2 |
¿De qué grado es? |
| 13 |
¿De qué grado es? |
Nota cómo se deben escribir los polinomios. Se deben escribir en orden decreciente con respecto al grado de cada término.
Raíces de un polinomio
La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.
Por ejemplo el polinomio
Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:
| x2 + x – 12 = 0 |
Igualando a cero. |
| (x + 4)(x – 3) = 0 |
Factorizando. |
| x = – 4 |
Solución 1 |
| x = 3 |
Solución 2 |
Puesto que x1 = – 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = – 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2+ x – 12
Las raíces de f(x) = x3 – 4 x2 + x + 6 son x = – 1, x = 2 y x = 3 ¿Por qué?
Factorización de un polinomio
El número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio (Teorema fundamental del Álgebra).
Para que podamos factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces. Cuando ya las tengamos, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma( x – r ) donde r es una de las raíces.
Esto es, si r1, r2, … , rn son raíces del polinomio f(x) entonces la factorización de f(x) es:
f(x) = (x – r1) (x – r2) … (x – rn)
Por ejemplo, si
- f(x) = x3 – 4 x2 + x + 6
como sus raíces son x = – 1, x = 2 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como
f(x) = (x – (-1)) (x – 2) (x – 3) = (x + 1) (x – 2) (x – 3)
- f(x)= x2 + x – 12
como sus raíces son x = – 4 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como
f(x) = (x – (-4)) (x – 3) = (x + 4) (x – 3)
Representación gráfica de las raíces de un polinomio
Como las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesiano esto lo identificamos como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas).
Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa la raíz del polinomio graficado.
A continuación presentamos algunas funciones con sus raíces, factores y gráficas:
| Función |
Raíces |
Factorización |
Gráfica |
| f(x)= x2 + x – 12 |
- 4 y 3 |
f(x) = (x + 4) (x – 3) |
|
| f(x)= x3 – 4 x2 + x + 6 |
- 1, 2 y 3 |
f(x) = (x + 1) (x – 2) (x – 3) |
|
| f(x)= x4 – 5 x2 + 4 |
- 2, – 1, 1 y 2 |
f(x) = (x + 1) (x + 2) (x – 1) (x – 2) |
|
| f(x)= x3 + 4 x2 + 3 x |
¿Cuáles son? |
f(x) = |
|
| f(x)= x3 – 2 x2 – 5 x + 6 |
1, – 2 y 3 |
f(x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) |
|
Teorema fundamental del Álgebra
Carl Friedrch Gauss ha sido uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Contribuyó a muchas ramas de las matemáticas. En 1798, ¡ a los 20 años de edad !, Gauss demostró el teorema fundamental del Álgebra que dice lo siguiente:
Todo polinomio de grado n tiene n raíces.
Es decir que la ecuación
an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + … + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0
tiene n soluciones. Recordemos que es esta página sólo tendremos polinomios con coeficientes enteros. Observa la tabla anterior, donde escribimos la función, las raíces y la gráfica y verfica que efectivamente para cada polinomio de grado n hay n raíces.
Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio de este grado, entonces:
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + … + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (x – r1) (x – r2) … (x – rn)
donde r1, r2, … , rn son las raíces de f(x).
La demostración de este teorema queda lejos del objetivo de esta página sin embargo daremos algunas herramientas para encontrar las n raíces.
Regla de los signos de Descartes
Rene Descartes (el mismo del plano cartesiano) encontró un método para indicar el número de raíces positivas en un polinomio.
Esta regla dice lo siguiente:
“El número de raíces reales positivas de un polinomio f(x) es igual al número de cambios de signo de término a término de f(x)”
Hay que recordar que los polinomios los tenemos que escribir en orden decreciente conforme al grado de cada término.
Por ejemplo el polinomio
f(x)= x2 + x - 12 tiene un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una raíz positiva.
g(x)= +x3 - 4 x2 + x + 6 tiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivas
h(x)= +x4 - 5 x2 + 4 tiene dos raíces positivas
i(x)= x3 + 4 x2 + 3 x No tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene raíces reales positivas.
j(x)= x3 – 2 x2 – 5 x + 6 ¿Cuántas raíces positivas tiene?
Conjunto de posibles raíces
Existe un método para encontrar un conjunto de números, los cuales pueden ser raíces de un polinomio. La regla que mencionaremos aquí es aplicable sólo para polinomios con el coeficiente de la potencia mayor de x igual a 1. Es decir, si f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + … + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0tomarémos a an = 1. Esto es que sólo trabajarémos con polinomios de la siguiente forma:
f(x) = xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + … + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
El conjunto de posibles raíces de f(x) se forma con los divisores de a0 (del término independiente), hay que considerar estos divisores tanto con signo positivo como con negativo.
La forma en que podemos usar esta información del término independiente es la siguiente, puesto que cualquier elemento de este conjunto puede ser raíz de f(x) hay que evaluar a f(x) en algún valor de este conjunto y si el resultado de la evaluación es cero, entonces ese valor escogido es raíz de f(x).
En la siguiente tabla mostramos varios polinomios, los divisores del término independiente y las raíces de los polinomios:
| Función |
Divisores del término independiente |
Raíces |
| f(x)= x2 + x – 12 |
1, 2, 3, 4, 6, 12,
-1, -2, -3, -4, -6, -12 |
- 4 y 3 |
| f(x)= x3 – 4 x2 + x + 6 |
1, 2, 3, 6,
-1, -2, -3, -6 |
- 1, 2 y 3 |
| f(x)= x4 – 5 x2 + 4 |
1, 2, 4,
-1, -2, -4 |
- 2, – 1, 1 y 2 |
| f(x)= x3 – 2 x2 – 5 x + 6 |
1, 2, 3, 6,
-1, -2, -3, -6 |
1, – 2 y 3 |
¿Qué hacer cuando tengamos una raíz?
Con lo visto en los apartados anteriores tenemos las herramientas necesarias para encontrar las n raíces de un polinomio. Recordemos que para encontrar una raíz es necesario saber los divisores del término independiente y evaluar nuestro polinomio en con el valor escogido.
Además de haber encontrado una raíz usando el método anterior hemos hallado un factor de nuestro polinomio. Podemos estar seguros de que si r es una raíz de f(x) entonces al dividir f(x) / (x – r) tendremos como resultado un polinomio de un grado menor a f(x) y como residuo cero.
Así hemos reducido nuestro problema de encontrar n raíces en otro problema, el encontrar sólo n-1 raíces.